Calculadora de derivadas

Las derivadas mide la inclinación de la gráfica de una función en algún punto particular de la gráfica. Por lo tanto, la derivada es una pendiente . (Eso significa que es una relación de cambio en el valor de la función para cambiar en la variable independiente). Esto puede ser resuelto con una calculadora de derivadas

Si la variable independiente resulta ser «tiempo», a menudo pensamos en esta relación como una tasa de cambio (un ejemplo es la velocidad )

Si hacemos zoom en el gráfico de la función en algún punto para que la función se vea casi como una línea recta, la derivada en ese punto es la pendiente de la línea. Esto es lo mismo que decir que la derivada es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en el punto dado.

La pendiente de una línea secante (línea que conecta dos puntos en un gráfico) se aproxima a la derivada cuando el intervalo entre los puntos se reduce a cero.

La derivada también es, en sí misma, una función : varía de un lugar a otro. Por ejemplo, la velocidad de un automóvil puede cambiar de un momento a otro a medida que el conductor acelera o disminuye la velocidad. Los problemas se logran resolver con el uso de una calculadora de derivadas.

El último comentario es bastante importante e interesante: nos dice que cuando terminamos de determinar la derivada de alguna función particular en todas partes, ¡obtenemos otra función! ¡Entonces podríamos hablar sobre su derivada! (¡Por supuesto, hacemos esto muy a menudo sin darnos cuenta! Siempre que hablamos de aceleración estamos hablando de la derivada de una derivada, es decir, la tasa de cambio de una velocidad). Las segundas derivadas (y las terceras derivadas, etc.) también son funciones! Cada uno nos informa sobre la tasa de cambio de la función anterior en este esquema piramidal.

Hemos usado muchas palabras para tratar de describir cuál es la derivada. Los matemáticos intentan evitar muchas palabras, apuntando a la precisión y la concisión. Echemos un vistazo a lo que podrían hacer en su lugar. Con la ayuda de una calculadora de derivadas el trabajo se hace mas rapido.

El código de un matemático

Los matemáticos han desarrollado una especie de «código secreto» que dice todas las cosas que hemos enumerado anteriormente con unos pocos trazos de la pluma. En realidad, llevó siglos desarrollar este código hasta el punto en que se convirtió en parte del lenguaje aceptado de la sociedad matemática, pero ahora se usa universalmente. No hay nada particularmente misterioso, interesante o importante sobre los detalles del código en sí (que «ellos» llaman «notación matemática»), pero debido a que todos lo usan, al menos deberíamos contarle al respecto.

Un matemático comenzaría así:

Definición de la derivadas Y uso de la calculadora de derivadas

Suponga que $ y = f (x) $  es una función diferenciable en este punto $ x_0 $  . Entonces la derivada de la función en este punto es:

\ [\ frac {dy} {dx} | _ {x_0} = f ‘(x_0) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \]

Trabajemos en «descifrar este código» pieza por pieza. Puede ser útil mirar el diagrama a continuación mientras hacemos esto:

Primero, observe que hay una «letra pequeña» adjunta: «Suponga que $ y = f (x) $  es una función diferenciable «. Hemos insinuado el hecho de que no todas las funciones tienen una derivada en cada punto. Si el gráfico de la función tiene una esquina afilada o torcida en algún punto (por ejemplo, la función de valor absoluto $ f (x) = | x |  PS tiene un gráfico afilado en el punto $ x = 0 $  ), o si su gráfico tiene una «pendiente infinita» cerca de algún punto, entonces no deberíamos esperar que una derivada se defina allí.

Luego, la expresión en el lado izquierdo con la barra vertical

\ [\ frac {dy} {dx} | _ {x_0} \]

Solo significa «la derivada de la función en $ x_0 $  » . La expresión $ f ‘(x_0) $  significa exactamente lo mismo.

Ahora veamos el lado derecho:

Primero, observe que, como se esperaba, hay una relación que parece

\ [\ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \]

La parte superior representa un cambio en el valor de la función entre los dos puntos cuyos valores x son, $ x_0 $  y $ x_0 + h $  . El cambio en el valor de la función se muestra en nuestro diagrama con la línea verde.

¡La parte inferior de la relación es el cambio en el valor de x! $ (x_0 + h) -x_0 = h $  . Este cambio en el valor x se muestra con una línea de color magenta en el diagrama.

Esto significa que esta relación es, de hecho, una pendiente . Es la pendiente de la recta secante que conecta los dos puntos de la gráfica: $ (x_0, f (x_0)) ~~ {\ rm y} ~~ (x_0 + h, f (x_0 + h)) $  . Hasta ahora, estamos de acuerdo con las descripciones verbales de la derivada.

El bit final tenemos que descifrar es: $ \ lim_ {h \ a 0} $  . Esto dice, en palabras «el límite a medida que se $ h $  acerca a cero», que, aún más simple es: el valor que la relación se acerca a medida que los dos puntos se acercan más y más el uno al otro. Esto es precisamente lo que decíamos cuando hablamos sobre la forma en que la línea secante se aproxima a la línea tangente en la gráfica de una función.

Preguntas de la resoluciones del tema con calculadora de derivadas y conclusiones

(1) ¿Qué crees que podría suceder si tratamos de calcular, con una calculadora de derivadas, la derivada de la función de valor absoluto $ y = f (x) = | x |  PS en este momento $ x = 0 $  ? Sugerencia: ¿cuál es la pendiente de esta función a lo largo del eje x positivo? a lo largo del eje x negativo? Entonces, ¿qué deberíamos decir es la «pendiente» en cero?

(2) ¿Puedes pensar en alguna función que hayamos visto hasta ahora que tenga una «pendiente infinita» en algún momento? Sugerencia: mire cuidadosamente la página con poderes fraccionales de x.

(3) Hasta ahora hemos analizado principalmente funciones que son bastante suaves y que no tienen interrupciones en sus gráficos. Pero a veces estamos interesados ​​en las llamadas funciones discontinuas , cuyas gráficas tienen una ruptura en ellas. Por ejemplo, cuando enciende un interruptor de luz, la corriente en el circuito salta abruptamente de cero a algún otro valor. ¿Qué crees que sucedería con la derivada de dicha función en el punto en el que hay una ruptura en su gráfico?

(4) Revise el cálculo de la velocidad con la ayuda de una calculadora de de derivadas de una bola que cae. Muestre que básicamente hemos calculado la relación que se muestra arriba y deje que la cantidad se $ h $  reduzca cada vez más en magnitud.