La Calculadora de Integral

La Calculadora integral le permite calcular integrales y antiderivadas de funciones en línea.

La  calculadora  integral le permite verificar sus soluciones a los ejercicios de cálculo. Te ayuda a practicar mostrándote el trabajo completo (integración paso a paso). Todas las técnicas de integración comunes e incluso funciones especiales son compatibles.

La calculadora integral admite integrales definidas e indefinidas (antiderivadas), así como funciones integradoras con muchas variables. ¡También puedes consultar tus respuestas! Los gráficos / diagramas interactivos ayudan a visualizar y comprender mejor las funciones.

Para aquellos con experiencia técnica, la siguiente sección explica:

Cómo funciona la Calculadora Integral.

Primero, un analizador analiza la función matemática. Lo transforma en una forma que una computadora puede entender mejor, es decir, un árbol (ver figura a continuación). Al hacer esto, la Calculadora Integral debe respetar el orden de las operaciones . Una especialidad en expresiones matemáticas es que el signo de multiplicación puede omitirse a veces, por ejemplo, escribimos «5x» en lugar de «5 * x». La calculadora integral tiene que detectar estos casos e insertar el signo de multiplicación.

El analizador se implementa en JavaScript , basado en el algoritmo Shunting-yard , y puede ejecutarse directamente en el navegador. Esto permite una retroalimentación rápida al escribir transformando el árbol en código LaTeX . MathJax se encarga de mostrarlo en el navegador.

Cuando el «Go!» se hace clic en el botón, la Calculadora integral envía la función matemática y la configuración (variable de integración y límites de integración) al servidor, donde se analiza nuevamente. Esta vez, la función se transforma en una forma que puede ser entendida por el sistema de álgebra de computadora Maxima .

Cómo funciona la Calculadora integral Online

Maxima se encarga de calcular la integral de la función matemática. La salida de Maxima se transforma a LaTeX nuevamente y luego se presenta al usuario. La antiderivada se calcula utilizando el algoritmo de Risch , que es difícil de entender para los humanos. Es por eso que mostrar los pasos de cálculo es muy difícil para las integrales.

Para mostrar los pasos, la calculadora aplica las mismas técnicas de integración que aplicaría un humano. El programa que hace esto se ha desarrollado durante varios años y está escrito en el propio lenguaje de programación de Maxima. Consta de más de 17000 líneas de código. Cuando el integrando coincide con una forma conocida, aplica reglas fijas para resolver la integral (por ejemplo, descomposición de fracción parcial para funciones racionales, sustitución trigonométrica para integrandos que involucran las raíces cuadradas de un polinomio cuadrático o integración por partes para productos de ciertas funciones). De lo contrario, intenta diferentes sustituciones y transformaciones hasta que se resuelva la integral, se acabe el tiempo o no quede nada por probar. La calculadora carece de la intuición matemática que es muy útil para encontrar una antiderivada, pero, por otro lado, puede probar una gran cantidad de posibilidades en un corto período de tiempo. Los antiderivados paso a paso suelen ser mucho más cortos y elegantes que los encontrados por Maxima.

La función «Verificar respuesta» tiene que resolver la difícil tarea de determinar si dos expresiones matemáticas son equivalentes. Su diferencia se calcula y simplifica en la medida de lo posible utilizando Maxima. Por ejemplo, esto implica escribir funciones trigonométricas / hiperbólicas en sus formas exponenciales. Si se puede demostrar que la diferencia se simplifica a cero, la tarea está resuelta. De lo contrario, se aplica un algoritmo probabilístico que evalúa y compara ambas funciones en lugares elegidos al azar. En el caso de las antiderivadas, todo el procedimiento se repite con la derivada de cada función, ya que las antiderivadas pueden diferir en una constante.

Generalmente, una integral asigna números a funciones de una manera que puede describir desplazamiento, área, volumen e incluso probabilidad.

Integrales definidas

Este tipo de integral se relaciona con valores numéricos. Se utiliza en matemática pura, matemática aplicada, estadística, ciencia y muchos más. Sin embargo, el concepto muy básico de una integral definida describe áreas .

La integral definida es uno de los conceptos fundamentales del Análisis Matemático.

La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b (bajo la hipótesis de que la función f es positiva). Esta integral se representa por:

a es límite inferior de la integración y b es límite superior de la integración.

Si la función F es una función primitiva de f en el intervalo [a,b], por la Regla de Barrow se tiene que:

Propiedades

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Aplicaciones

El concepto de integral tuvo su origen histórico en la necesidad de resolver problemas concretos como: cálculo de área limitada por dos curvas, longitudes de arcos, volúmenes, trabajo, velocidad, momentos de inercia, etc.; todos estos cálculos se pueden realizar mediante la integral definida.